{"id":176,"date":"2024-09-13T17:10:41","date_gmt":"2024-09-13T20:10:41","guid":{"rendered":"http:\/\/meantrix.com\/blog\/?p=176"},"modified":"2024-09-13T17:32:34","modified_gmt":"2024-09-13T20:32:34","slug":"matematica-para-ciencia-de-dados-3-dinamica-estocastica-e-irreversibilidade","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/2024\/09\/13\/matematica-para-ciencia-de-dados-3-dinamica-estocastica-e-irreversibilidade\/","title":{"rendered":"Matem\u00e1tica para Ci\u00eancia de Dados 3: din\u00e2mica estoc\u00e1stica e irreversibilidade"},"content":{"rendered":"\n

A compreens\u00e3o de din\u00e2mica estoc\u00e1stica<\/strong> e irreversibilidade<\/strong> \u00e9 extremamente valiosa na ci\u00eancia de dados, especialmente quando lidamos com problemas envolvendo incertezas e varia\u00e7\u00f5es temporais nos dados. Essas ferramentas matem\u00e1ticas permitem modelar fen\u00f4menos aleat\u00f3rios e prever padr\u00f5es futuros, sendo essenciais para an\u00e1lise de s\u00e9ries temporais, simula\u00e7\u00f5es e detec\u00e7\u00e3o de anomalias. Neste texto, exploraremos interativamente os conceitos centrais relacionados a esses t\u00f3picos e apresentaremos desafios pr\u00e1ticos. Sinta-se \u00e0 vontade para resolv\u00ea-los e utilizar outras fontes para aprofundar seu conhecimento.<\/p>\n\n\n\n

1. Soma de vari\u00e1veis aleat\u00f3rias independentes<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria $y$ que \u00e9 a soma de outras duas VA’s independentes $x_{1}$e $x_{2}$com fun\u00e7\u00f5es caracter\u00edsticas $g_{1}(k)$ e $g_{2}(k)$ tem sua fun\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica expressa por:<\/p>\n\n\n\n

$y=x_{1}+x_{2}$, ent\u00e3o, $G(k)=<exp(ik(x_{1}+x_{2}))>=<exp(ikx_{1})><exp(ikx_{2})>=g_{1}(k)g_{2}(k)$.<\/p>\n\n\n\n

Para o caso geral, com $N$ VA’s independentes:<\/p>\n\n\n\n

(i)$\\left\\{ \\begin{array}{c}y=x_{1}+x_{2}+x_{3}+…+x_{N}\\\\G(k)=g_{1}(k)g_{2}(k)g_{3}(k)…g_{N}(k)=\\prod_{i}g_{i}(k)\\end{array}\\right\\} $<\/p>\n\n\n\n

Para a situa\u00e7\u00e3o expressa acima temos:<\/p>\n\n\n\n

(ii) $\\kappa_{n}=\\sum_{i}\\kappa_{n}^{(i)}$<\/p>\n\n\n\n

(iii) $<y>=\\sum_{i}<x_{i}>$<\/p>\n\n\n\n

(iv) $\\sigma^{2}(y)=\\sum_{i}\\sigma_{i}^{2}(x_{i})$<\/p>\n\n\n\n

a. Para a situa\u00e7\u00e3o expressa em (i) se as $N$ VA’s independentes seguem<\/p>\n\n\n\n

a mesma distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades (IID), verifique os rela\u00e7\u00f5es para $G(k)$, $\\kappa_{n}$, $<y>$, $\\sigma^{2}(y)$.<\/p>\n\n\n\n

b. Pode-se representar uma sequ\u00eancia de $N$ ensaios de Bernoulli independentes, em que apenas dois eventos podem ocorrer (0,1) com probabilidades $p$ e $q$ respectivamente, a partir da VA $y$, onde, $y=x_{1}+x_{2}+…+x_{N}$. Nessas condi\u00e7\u00f5es deduza as express\u00f5es para a fun\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica e para a distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades da VA $y$.<\/p>\n\n\n\n

2. Lei dos grandes n\u00fameros<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dada uma sequ\u00eancia de $N$ vari\u00e1veis aleat\u00f3rias independentes e identicamente distribu\u00eddas (IID) $x+x_{2}+…+x_{N}$ , i.e., com a mesma distribui\u00e7\u00e3o de probabilidade, a LGN diz:<\/p>\n\n\n\n

$\\begin{cases}\\frac{1}{N}\\sum_{i=1}^{N}x_{i}\\rightarrow a & N\\rightarrow\\infty\\end{cases}$<\/p>\n\n\n\n \n\n\n\n

c. Uma poss\u00edvel forma de se verificar a LGN ocorre atrav\u00e9s do lan\u00e7amento sequencial de um dado equilibrado de 6 lados, situa\u00e7\u00e3o essa que pode ser facilmente simulada computacionalmente. Complete a tabela abaixo e perceba que quando $N\\rightarrow\\infty$, como consequ\u00eancia, $P(x=1)\\rightarrow0,16666…$ <\/p>\n\n\n\n

$\\begin{array}{ccc}Lan\u00e7amentos & \\#faces\\quad1 & P(x=1)\\\\100\\\\1000\\\\10000\\end{array}$<\/p>\n\n\n\n

3. Teorema central do limite: <\/strong><\/p>\n\n\n\n

Para uma VA $z=\\frac{1}{\\sqrt{Nb}}(\\sum_{i=1}^{N}x_{i}-Na)$, onde<\/p>\n\n\n\n

$x_{i}$s\u00e3o VA IID com $<x_{i}>=a$ e $\\sigma^{2}(x_{i})=<x_{i}^{2}>-<x_{i}>^{2}=b$.<\/p>\n\n\n\n

A distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades de $z$ \u00e9 gaussiana quando $N\\rightarrow\\infty$:<\/p>\n\n\n\n

$\\rho(z)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}exp(-z^{2}\/2$)<\/p>\n\n\n\n

d. Utilize a aproxima\u00e7\u00e3o de cumulantes $ln[g(k)]=\\sum_{n}\\frac{(ik)^{n}}{n!}\\kappa_{n}$ e derive $G_{z}(k)$ e $\\rho(z)$.<\/p>\n\n\n\n

4. Passeio aleat\u00f3rio:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Um indiv\u00edduo se desloca sobre uma reta a partir da origem, dando passos de comprimento $(l)$ para a direita com probabilidade $p$, ou para a esquerda, com probabilidade $q=1-p$. Sua posi\u00e7\u00e3o ap\u00f3s $N=N_{1}+N_{2}$ passos ser\u00e1 dada por $x=ml=(N_{1}-N_{2})l$ , onde $N_{1}=\\#$passos para direita, $N_{2}=\\#$passos para esquerda e $-N<m<N$.<\/p>\n\n\n\n \n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

A probabilidade de uma determinada sequ\u00eancia de $N$ passos com $N_{1}$passos para direita e $N_{2}$para a esquerda acontecer \u00e9 dada por :<\/p>\n\n\n\n

$(ppp…p)(qqq…q)=p^{N_{1}}q^{N_{2}}$.<\/p>\n\n\n\n

Desse modo, o n\u00famero de sequ\u00eancias poss\u00edveis desse tipo ($N_{1}$ passos para direita e $N_{2}$ para a esquerda) \u00e9 dada pelo fator combinat\u00f3rio: $\\frac{N!}{N_{1}!N_{2}!}$.<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, a probabilidade de em $N$ passos, o indiv\u00edduo dar $N_{1}$ passos para direita e $N_{2}$para a esquerda \u00e9 dada pela distribui\u00e7\u00e3o binomial:<\/p>\n\n\n\n

$P_{N}(N_{1})=\\frac{N!}{N_{1}!N_{2}!}p^{N_{1}}q^{N_{2}}=\\frac{N!}{N_{1}!(N-N_{1})!}p^{N_{1}}q^{N-N_{1}}$.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9 poss\u00edvel notar ainda que $\\sum_{N_{1}}P_{N}(N_{1})=(p+q)^{N}=1$,ou seja, a distribui\u00e7\u00e3o j\u00e1 est\u00e1 normalizada, uma vez que $(p+q)=1$.<\/p>\n\n\n\n

Como $m=N_{1}-N_{2}$e $N=N_{1}+N_{2}$ segue: $\\frac{m+N}{2}=N_{1},\\frac{N-m}{2}=N_{2}$ e, a probabilidade de ap\u00f3s $N$ passos o caminhante ser encontrado na posi\u00e7\u00e3o $m$ \u00e9 reescrita na forma:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{equation}P_{N}(m)=\\frac{N!}{(\\frac{m+N}{2})!(\\frac{N-m}{2})!}p^{\\frac{m+N}{2}}q^{\\frac{N-m}{2}}\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n

e. Derive a eq. (1) a partir do c\u00e1lculo de $G_{n}(k)$ (m\u00e9todo exposto no livro).<\/p>\n\n\n\n

f. Calcule $<m>$e $\\sigma^{2}(m)$.<\/p>\n\n\n\n

Agora o problema do caminho aleat\u00f3rio \u00e9 formulado por meio de uma equa\u00e7\u00e3o estoc\u00e1stica<\/span> (vari\u00e1veis aleat\u00f3rias) de diferen\u00e7as discretas (mapas), onde cada passo do indiv\u00edduo em seu passeio \u00e9 dado num intervalo de tempo $\\tau$ , i.e., um problema de difus\u00e3o<\/span>. Note, ent\u00e3o, que para $N$ passos o tempo total \u00e9 $t=N\\tau$.<\/p>\n\n\n\n

g. Dada a afirma\u00e7\u00e3o: somente se o caminhante estiver na posi\u00e7\u00e3o $x=(m-1)l$ ou $x=(m+1)l$ no tempo $t=N\\tau$ \u00e9 que ele poder\u00e1 atingir a posi\u00e7\u00e3o $x=ml$ no passo seguinte $t=(N+1)\\tau$, condi\u00e7\u00e3o essa expressa matematicamente por:<\/p>\n\n\n\n

$P_{N+1}(m)=pP_{N}(m-1)+qP_{N}(m+1)$. <\/p>\n\n\n\n

Verifique que a eq. (1) satisfaz essa condi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

h. Particularmente, para p = q = 1\/2 (passeio isotr\u00f3pico), tomando o limite do cont\u00ednuo onde o tempo tende a zero, o comprimento dos passos tende a zero, e o n\u00famero de passos tende ao infinito, derive a representa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua para a equa\u00e7\u00e3o de difus\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

i. Resolva a equa\u00e7\u00e3o de difus\u00e3o $\\frac{\\partial P}{\\partial t}=D\\frac{\\partial^{2}P}{\\partial x^{2}}$ utilizando as seguintes condi\u00e7\u00f5es de contorno : $P(x,t)\\rightarrow0$ quando $x\\rightarrow\\pm\\infty$ para qualquer tempo e condi\u00e7\u00e3o inicial<\/p>\n\n\n\n

$P(x,0)=\\delta(x)$.<\/p>\n\n\n\n

R $P(x,t)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^{2}(x)}}exp(-\\frac{x^{2}}{2\\sigma^{2}(x)})$;<\/p>\n\n\n\n

$\\sigma^{2}(x)=2Dt$.<\/p>\n\n\n\n

6. Equa\u00e7\u00e3o de Langevin:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

<\/span>\"\"
\n

<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n \n\n\n\n

Para Langevin o Movimento Browniano est\u00e1 sujeito a duas for\u00e7as:<\/p>\n\n\n\n

    <\/p>\n\n\n\n

  1. For\u00e7as dissipativas: $-\\alpha v$ ;<\/p>\n\n\n\n

    <\/li>

  2. For\u00e7as aleat\u00f3rias de intensidade vari\u00e1vel devido os impactos : $F_{a}(t)$;<\/p>\n\n\n\n

    <\/li><\/ol>\n\n\n\n

    Nessas condi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n

    \\begin{equation}m\\frac{dv}{dt}=-\\alpha v+F_{a}(t)\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n

    A for\u00e7a $F_{a(}(t)$ possu\u00ed duas propriedades: (i) m\u00e9dia devido as colis\u00f5es \u00e9 nula $<F_{a}(t)>=0$, (ii) impactos s\u00e3o independentes $<F_{a}(t)F_{a}(t’)>=B\\delta(t-t’)$.<\/p>\n\n\n\n

    Redefinindo $\\gamma=\\frac{\\alpha}{m}$ e $\\varsigma(t)=\\frac{F_{a}(t)}{m}$ temos a equa\u00e7\u00e3o de Langevin<\/span>:<\/p>\n\n\n\n

    \\begin{equation}\\frac{dv}{dt}=-\\gamma v+\\varsigma(t)\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n

    Onde $\\varsigma(t)$ \u00e9 uma vari\u00e1vel estoc\u00e1stica dependente do tempo tamb\u00e9m chamada de ru\u00eddo que obedece as seguintes propriedades: $<\\varsigma(t)>=0$,<\/p>\n\n\n\n

    $<\\varsigma(t)\\varsigma(t’)>=\\varGamma\\delta(t-t’)$.<\/p>\n\n\n\n

    O movimento browniano \u00e9 respons\u00e1vel pela difus\u00e3o: assim, \u00e9 poss\u00edvel derivar esse comportamento tamb\u00e9m atrav\u00e9s da equa\u00e7\u00e3o de difus\u00e3o (ou equa\u00e7\u00e3o de calor), $\\frac{\\partial\\rho}{\\partial t}=D\\frac{\\partial^{2}\\rho}{\\partial x^{2}}$. Onde $\\rho$ poderia ser a concentra\u00e7\u00e3o de uma nuvem de part\u00edculas brownianas.<\/p>\n\n\n\n

    j. Verifique a solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o (3) para $v(0)=v_{0}$. Ap\u00f3s calcule $\\sigma^{2}(v)$ e o valor da velocidade quadr\u00e1tica m\u00e9dia no regime estacion\u00e1rio.<\/p>\n\n\n\n

    l. Use a linearidade da m\u00e9dia e explique a rela\u00e7\u00e3o $<v>=0$ no regime estacion\u00e1rio ($t\\rightarrow\\infty)$.<\/p>\n\n\n\n

    m. Use o teorema da equiparti\u00e7\u00e3o e determine um valor para a vari\u00e1vel $\\varGamma$ em termos dos outros par\u00e2metros do modelo. Pense em $\\varGamma$ como um medida da “intensidade” da for\u00e7a aleat\u00f3ria.<\/p>\n\n\n\n

    n. Derive a rela\u00e7\u00e3o $\\sigma^{2}(x)=\\frac{\\varGamma}{\\gamma^{2}}(t-\\frac{2}{\\gamma}(1-e^{-\\gamma t})+\\frac{1}{2\\gamma}(1-e^{-2\\gamma t}))$ e tome seu limite para $t$ grande. A partir da express\u00e3o $\\sigma^{2}(x)=2Dt$ obtenha a rela\u00e7\u00e3o de Sutherland-Einstein para o coeficiente de difus\u00e3o e interprete seu valor.<\/p>\n\n\n\n

    7. Distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Assim como $\\varsigma(t)$ , $v(t)$ tamb\u00e9m \u00e9 uma VA. Uma das diferen\u00e7as entre elas \u00e9 que previamente conhecemos a distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades de $\\varsigma(t)$ e no caso de $v(t)$ devemos descobri-la. Para isso discretizamos o tempo em intervalos de tempo $\\tau$ de modo que $t=n\\tau$. Assim reescrevemos a eq. $(3)$:<\/p>\n\n\n\n

    \\begin{equation}v_{n+1}=av_{n}+\\sqrt{\\tau\\varGamma}\\xi_{j}\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n

    onde $a=(1-\\tau\\gamma)$ e as VA’s $\\xi_{j}$ seguem as propriedades: $<\\xi_{j}>=0$ ; $<\\xi_{j}\\xi_{k}>=\\delta_{jk}$ .<\/p>\n\n\n\n

    o. Demonstre a rela\u00e7\u00e3o $\\varsigma(t)\\thickapprox\\sqrt{<\\varsigma^{2}(t)>}=\\sqrt{\\frac{\\varGamma}{\\tau}}$.<\/p>\n\n\n\n

    p. Utilize a rela\u00e7\u00e3o do item anterior e o m\u00e9todo de Euler para obter a equa\u00e7\u00e3o (4).<\/p>\n\n\n\n

    q. Assumindo que $\\xi$ possu\u00ed distribui\u00e7\u00e3o gaussiana de m\u00e9dia 0 e<\/p>\n\n\n\n

    vari\u00e2ncia 1 $N(0,1)$, obtenha a distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades da Va $v_{n}$ e tome o limite do cont\u00ednuo.<\/p>\n\n\n\n

    r. Utilize o mesmo m\u00e9todo do exerc\u00edcio anterior e derive a distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades das posi\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n

    8. Evolu\u00e7\u00e3o temporal dos momentos:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Uma equa\u00e7\u00e3o de Langevin gen\u00e9rica: $\\frac{dx}{dt}=f(x)+\\varsigma(t)$ pode ser entendida como uma equa\u00e7\u00e3o estoc\u00e1stica, pois cada uma das suas vari\u00e1veis possu\u00ed uma distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades dependente do tempo. Assim, resolver a eq. de Langevin significa determinar $P(x,t)$ para cada $t>0$, dada a condi\u00e7\u00e3o inicial $P(x,0)$. Se no instante inicial a part\u00edcula est\u00e1 localizada na posi\u00e7\u00e3o $x_{0}$, por consequ\u00eancia, $P(x,0)=\\delta(x-x_{0}).$ Alternativamente, tamb\u00e9m \u00e9 poss\u00edvel determinar todos os momentos da VA $x_{l}=\\mu(t)$.<\/p>\n\n\n\n

    s. O que siginifica dizer que a VA $\\varsigma(t)$ \u00e9 um ru\u00eddo branco?<\/p>\n\n\n\n

    t. Discretize a equa\u00e7\u00e3o $\\frac{dx}{dt}=f(x)+\\varsigma(t)$ em intervalos de tempo iguais $\\tau$ considerando $\\varsigma(t)$ como um ru\u00eddo branco. Ap\u00f3s, obtenha a express\u00e3o geral para a evolu\u00e7\u00e3o temporal do l-\u00e9simo momento.<\/p>\n\n\n\n

    u. Para $f(x)=constante$ e condi\u00e7\u00e3o inicial $<x>=x_{0}$, $<x^{2}>=x_{0}^{2}$ . Calcule atrav\u00e9s da evolu\u00e7\u00e3o dos momentos uma express\u00e3o para $\\sigma^{2}(x)$. Voc\u00ea consegue ver alguma rela\u00e7\u00e3o com o passeio aleat\u00f3rio ?<\/p>\n\n\n\n

    v. Deduza a express\u00e3o $\\frac{d}{dt}<x^{2}>=2<xv>$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    A compreens\u00e3o de din\u00e2mica estoc\u00e1stica e irreversibilidade \u00e9 extremamente valiosa na ci\u00eancia de dados, especialmente quando lidamos com problemas envolvendo incertezas e varia\u00e7\u00f5es temporais nos dados. Essas ferramentas matem\u00e1ticas permitem modelar fen\u00f4menos aleat\u00f3rios e prever padr\u00f5es futuros, sendo essenciais para an\u00e1lise de s\u00e9ries temporais, simula\u00e7\u00f5es e detec\u00e7\u00e3o de anomalias. Neste texto, exploraremos interativamente os conceitos […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":56,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[7,17],"class_list":["post-176","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-estatistica","tag-probabilidade","tag-variavel-aleatoria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/176"}],"collection":[{"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=176"}],"version-history":[{"count":24,"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/176\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":395,"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/176\/revisions\/395"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/56"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=176"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=176"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/meantrix.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=176"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}